微积分证明题，求解答过程 50
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1.设f(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x)
x>0
f'(x)=1/(1+1/x)*(-x^(-2))+(x+1)^(-2)=-1/[x(x+1)^2]<0
f(x)在x>0时单减
x趋向于无穷大时,f(x)趋向于0
则x>0时,f(X)>0,故当x>0时ln(1+1/x)>1/(1+x)
2.令g(x)=f(x)/e^x
g'(x)=[f'(x)*e^x-f(x)*e^x]/(e^2x)
又f'(x)=f(x)
故g'(x)=0
所以g(x)=c
g(0)=f(0)/e^0=1
所以g(x)=1
所以f(x)=e^x
x>0
f'(x)=1/(1+1/x)*(-x^(-2))+(x+1)^(-2)=-1/[x(x+1)^2]<0
f(x)在x>0时单减
x趋向于无穷大时,f(x)趋向于0
则x>0时,f(X)>0,故当x>0时ln(1+1/x)>1/(1+x)
2.令g(x)=f(x)/e^x
g'(x)=[f'(x)*e^x-f(x)*e^x]/(e^2x)
又f'(x)=f(x)
故g'(x)=0
所以g(x)=c
g(0)=f(0)/e^0=1
所以g(x)=1
所以f(x)=e^x
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