Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且(n-3)2+3m-12=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵(n-3)2+

3m-12

=0，
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）；

（2）∵B（-5，0），
∴OB=5，
①当0≤t＜

5

2

时，P在线段OB上，如图1，
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面积S=

1

2

×OP×AP=

1

2

×（5-2t）×4=10-4t；
②当t=

5

2

时，P和O重合，此时△APO不存在，即S=0；
③当t＞

5

2

时，P在射线OC上，如备用图2，
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面积S=

1

2

×OP×AP=

1

2

×（2t-5）×4=4t-10；

（3）当P在线段BO上运动时，在y轴上存在点Q，使△POQ与△AOC全等，
∵P在线段BO上运动，
∴t≤5÷2=2.5，
①当BP=1，OQ=3时，△POQ和△AOC全等，
此时t=

1

2

，Q的坐标是（0，3）；
②当BP=2，OQ=4时，△POQ和△AOC全等，
此时t=

2

2

=1，Q的坐标是（0，4）；
③④由对称性可知Q为（0，-3）、（0，-4）
综上所述，t=

1

2

或1时，Q的坐标是（0，3）或（0，4）或（0，-3）或（0，-4）．