Question

在数列{a n }中，其前n项和S n 与a n 满足关系式：（t-1）S n +（2t+1）a n =t（t＞0，n=1，2，3，…）．

在数列{a n }中，其前n项和S n 与a n 满足关系式：（t-1）S n +（2t+1）a n =t（t＞0，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求证：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）设数列{a n }的公比为f（t），已知数列{b n }， b 1 =1， b n+1 =3f( 1 b n ) (n=1，2，3，…) ，求b 1 b 2 -b 2 b 3 +b 3 b 4 -b 4 b 5 +…+（-1） n+1 b n b n+1 的值．

Answer 1

证明：（Ⅰ） 当n=1时，（t-1）S 1 +（2t+1）a 1 =t，∴a 1 = 1 3 当n≥2时，（t-1）S n +（2t+1）a n =t，（t-1）S n-1 +（2t+1）a n-1 =t ∴（t-1）a n +（2t+1）a n -（2t+1）a n-1 =0 ∴3ta n =（2t+1）a n-1 ，t＞0 ∴ a n a n-1 = 2t+1 3t ， a 1 = 1 3 ∴数列{a n }是以 2t+1 3t 为公比， 1 3 为首项的等比数列； （II）由（Ⅰ）可知， f(t)= 2t+1 3t (t＞0) ， b n+1 =3f( 1 b n ) ，则b n+1 =b n +2 所以，数列{b n }是以2为公差，首项为1的等差数列 即b n =2n-1 ①当n为奇数时， b 1 b 2 -b 2 b 3 +b 3 b 4 -b 4 b 5 +…+（-1） n+1 b n b n+1 =b 1 b 2 +b 3 （b 4 -b 2 ）+b 5 （b 6 -b 4 ）+…+b n （b n+1 -b n-1 ） =3+4（b 3 +b 5 +…+b n ） =2n 2 +2n-1 ②当n为偶数时， b 1 b 2 -b 2 b 3 +b 3 b 4 -b 4 b 5 +…+（-1） n+1 b n b n+1 =b 2 （b 1 -b 3 ）+b 4 （b 3 -b 5 ）+…+b n （b n-1 -b n+1 ） =-4（b 2 +b 4 +…+b n ） =-（2n 2 +2n） 所以，原式= 2 n 2 +2n-1       n为奇数 -(2 n 2 +2n)       n为偶数