Question

如图1，游乐场中的摩天轮匀速旋转，其最低点离地面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么

如图1，游乐场中的摩天轮匀速旋转，其最低点离地面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与地面的距离y（m）随时间x（min）变化的关系将如图2所示（该图象近似于y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，-π≤φ≤0）的图象）．（Ⅰ）求出y（m）和x（min）的函数关系式；（Ⅱ）当你第三次距离地面65米时，用了多少时间？（Ⅲ）当你登上摩天轮4分钟后，你的朋友也在最低点登上摩天轮，请直接写出你登上摩天轮多少分钟后，第一次与你的朋友处在同一高度？

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得A=

85?5

2

=40，b=

85+5

2

=45，根据函数的周期为

2π

ω

=2×12=24，可得ω=

π

12

．
故函数的解析式为 y=40sin（

π

12

x+φ）+45．
再把点（0，5）代入可得 sinφ=-1，结合-π≤φ≤0，可得 φ=-

π

2

，
∴y=40sin（

π

12

x-

π

2

）+45=-40sin（

π

2

-

π

12

x）+45=-40cos

π

12

x+45．
（Ⅱ）在函数y=-40cos

π

12

x+45 中，令y=65，求得cos

π

12

x=-

1

2

，
令

π

12

x分别取

2π

3

、

4π

3

、2π+

2π

3

，
求得三个最小的正实数x的值分别为8、16、32，
故当你第三次距离地面65米时，用了32（min）．
（Ⅲ）由题意可得，当你登上摩天轮4分钟后，你的高度为-40cos（

π

12

×4）+45=25（m），
你的朋友的高度为5m．
设t分钟后，第一次与你的朋友处在同一高度，则有-40cos

π

12

t+45=-40cos

π

12

（4+t）+45，
即 cos

π

12

t=cos

π

12

（4+t），∴t的最小正值为10（min）．