Question

何时函数的二阶混合偏导数会相等

Answer 1

最佳答案第一种方法是错的，分子两个x不是同一个

Answer 2

Answer 3

引用苏规放的回答：
1、对于任何二元函数，只要二阶可导，混导就一定相等。
也就是说，二阶混导的结果跟求导的顺序无关。

2、二阶混导相等的证明，有两种方法，
A、根据偏导数的定义证明；
B、运用导数中值定理证明。

分别证明如下，如果看不清楚，请点击放大：

法一写错了吧，求导顺序写倒了吧

Answer 4

『由于看到没有具体的证明过程，故此与大家分享一下，并校正一下楼上有所纰漏的说法』

首先，请看一楼中IamEraser_桑的评论，说的没错的，混合偏导相等需要连续，这一点在二元函数的二阶全微分公式条件与证明(要求函数有二阶连续偏导数)中就需要用到，这个连续条件保证了二阶全微分公式中最终的混合偏导可以合并得到一个简洁的形式，此外在进一步学习中的计算中也往往会遇到。

『附上证明过程（照片拍的不好实在很抱歉！），顺带一提，这个是复旦大学陈济修老师的教材，如果有不明白可以到哔哩哔哩上面搜索数学分析，就可以看到视频，在第十二章第一节中就是，希望能够有所帮助』

〔补充〕

同时，为说明连续条件的重要性，恰好找到一个例子，顺带附录上来供大家参考。