Question

已知函数f(x)=x+m/x+m(x∈[1,+∞)且m<1)

（1）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
（2）设函数g（x）=x·f（x）+2x+3/2，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）>0恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1.f(x)=x+m/x+m
设x1<x2∈[1,+∞)
=>x2-x1>0,x1x2>1
m<1
=>x1x2-m>0
f(x2)-f(x1)=x2-x1+m/x2-m/x1
=x2-x1+m(x1-x2)/x1x2
=(x1x2-m)(x2-x1)/x1x2
>0
=>x1<x2∈[1,+∞),f(x1)<f(x2)
=>f（x）在[1，+∞）上为增函数
2.g(x)=x^2+(m+2)x+m+3/2
=(x+m/2+1)^2-m^2+1/2
(1)若[2，5]是g（x）的一个单调减区间
==>-m/2-1≥5,f(5)>0
==>无解
(2)若[2，5]是g（x）的一个单调增区间
==>-m/2-1≤2，f(2)>0
==>m≥-23/6
==>-23/6≤m<1
m{m|-23/6≤m<1}