Question

已知△ABC中，AB=√3，AC=3，D是AC上一点，且AD∶DC=1∶2，连接BD 求证：若sin∠ACB=1/3，求BD的长。

已知△ABC中，AB=√3，AC=3，D是AC上一点，且AD∶DC=1∶2，连接BD
求证：若sin∠ACB=1/3，求BD的长。

Answer 1

解：根据大边对大角的原则，由AB=√3<AC=3可知∠ACB<∠ABC，所以∠ACB肯定是锐角（若一个为钝角，另一个也必为钝角）;

因为sin∠ACB=1/3，所以cos∠ACB=2√2/3，

根据cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/2×AC×BC可以求出BC=3√2,或√2。

因为AD:DC=1:2且AC=3,所以DC=2.由cos∠BCD=(DC^2+BC^2-BD^2)/2×DC×BC，可求得BC有两个结果，分别为BC=3√2或BC=√2

情况1（见图1）：当BC=√2时，BD=√6/3；

情况2（见图2）：当BC=3√2时,BD=√6。

Answer 2

通过已知条件，可以根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC ，得到BC=√2或者是3√2，在通过△CBD来求BD的长，再通过余弦定理，在已知夹角和两邻边的情况，得BD=√6/3或√14。