Question

无风情况下，一定体积的球体所受的空气阻力与其运动速度的表达式是什么？

Answer 1

斯托克斯定律f=-6лηr v 在自然界中，经常可以发现随速度 而变化的阻力，半径为r的任意小球， 如雨点，油滴，或刚球，以低速度v 通过粘滞流体（液体或气体）时， 受到阻力R的作用， f=-6лηr v η为粘滞度，这个关系式称为斯托克斯定律（Stokes law).令 k=6лηr 我们可以把斯托克斯定律简单的写为 f=-kv 在粘滞流体中下落的小 求，受到三个竖直力的 作用，如图1所示：重 力G，浮力B及阻力f。
假设小球由静止开始下落，并设y的正方向 向下，在这些条件下，得 ∑Fy=G-B-kv=ma 最初，v=0时，阻力为0，初加速度a0为正： a0=(G-B）/m 小球向下加速，稍候，当v足够大时，阻力 就等于G-B，因此作用在小球上的合力为零， 此时加速度也为零，速度不再增加，此速度 为小球的最大速度或收尾速度vT,可由a=0算 出，
G-B-kv=0 即 vT=(G-B)/k 加速度、速度及位移随时间变化的关系，如 图2所示。
为了求得到小球在到达收尾速度以前，其速 度与时间的关系式，我们追溯到牛顿第二 定律 m(dv/dt)=G-B-kv 整理各项并用vT代替(G-B)/k，得 dv/(v-vT)=-kdt/m 当t=0时，v=0,则 ∫0v dv/(v-vT)=-k/m∫0tdt 由此 ln((vT-v)/vT)=-kt/m
即 最后 1-v/vT=e-(k/m)t v=vT(1-e–(k/m)t) 与指数变化量有关的一个重要概念是弛豫时 间tR，其含义由图2（b）可知，假定加速度 保持初始a0不变,弛豫时间可以定义为以匀 加速度a0到达收尾速度所需要的时间，显然 tR=vT/a0=((G-B)/k)/((G-B)/m)=m/k
现在方程可以简单的写成 v=vT(1-e–t/tR) 当t等于弛豫时间时,t/tR=1。则 v=vT(1-e–1)=0.63vT 可见在下落时间等于弛豫时间时，实际速度 大约为收尾速度的63%。