Question

复变函数问题，求解析函数

Answer 1

根据v的表达式得到其对y的偏导数为
vy=-2；
根据柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；
上式对x积分，得到u=-2x+C(y)。
上式对y求导，得到uy=C'(y)；
另外，根据v的表达式，对x的偏导数为
vx=4x+1，
根据柯西-黎曼方程有uy=-vx，即
C'(y)=4x+1.
这显然不可能成立。所以不存在这样的解析函数f，使得f=u+iv（其中u是实函数）。
其实单独从v的表达式来看，其对x的二阶偏导数为4，对y的二阶偏导数为0，两者之和不等于0，所以v 不是调和函数，因此v不可能是某个解析函数的虚部或者实部。

Answer 2

因为解析函数的虚部是实部的共轭调和函数,所以只需要求出与u共轭的调和函数就行了

根据柯西黎曼方程,
∂u/∂x=∂v/∂y=3x²+12yx-3y²
於是对y进行积分,v=3x²y+6xy²-y³+C(x)
而∂v/∂x=-∂u/∂y=-6x²+6xy+6y²
於是把v=3x²y+6xy²-y³+C(x)两边对x求导
∂v/∂x=6xy+6y²+C'(x)
比较∂v/∂x=-6x²+6xy+6y²可知,C'(x)=-6x²,C(x)=-2x³+C
於是v=-2x³+3x²y+6xy²-y³+C
而f(0)=f(0+0i)=u(0,0)+iv(0,0)=0
即0+iC=0,C=0
∴f(z)=x³+6x²y-3xy²-2y³+i(-2x³+3x²y+6xy²-y³)