Question

高二数学题，求解

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Answer 1

Answer 2

（1）

令MN的中点为C，分别过M、N、C作抛物线准线的垂线，垂足依次为D、E、F。
∵抛物线方程为y^2＝2px，抛物线的准线方程为x＝－p/2。
由抛物线定义，有：｜MF｜＝｜DM｜、｜NF｜＝｜EN｜，
∴｜DM｜＋｜EN｜＝｜MF｜＋｜NF｜＝9。
自然，FC是梯形DMNE的中位线，∴｜FC｜＝（1/2）（｜DM｜＋｜EN｜）＝9/2，
∴p/2＋3/2＝9/2，∴p＝6。
（2）
显然，抛物线方程是：y^2＝12x，
∴可设A、B的坐标分别为（a^2/12，a）、（b^2/12，b）。
∴AO的斜率＝a/（a^2/12）＝12/a、BO的斜率＝b/（b^2/12）＝12/b，
∵AO⊥BO，∴12/a＝－b/12，∴ab＝－144。
－－－－－
AB的方程自然是：（y－a）/（x－a^2/12）＝（a－b）/（a^2/12－b^2/12），
即：（y－a）/（12x－a^2）＝1/（a＋b），
即：（y－a）（a＋b）＝12x－a^2，∴（a＋b）y－a^2－ab＝12x－a^2，
即：（a＋b）y＝12x＋ab＝12x－144。
容易得出：点（12，0）满足AB的方程，∴直线AB过定点，且定点坐标为（12，0）。