Question

求解抛物线方程

（1，1）、（30，30）为抛物线对称点，抛物线的顶点y坐标为10，求解抛物线方程

Answer 1

如图，用到大学解析几何坐标变换的知识。

Answer 2

Answer 3

标准位置的抛物线方程：
y=ax²
一般位置的抛物线，方程虽然不能用这样的形式，但是这个方程表示的几何关系，仍然成立的。
x是抛物线上一点，到对称轴的距离；
y是抛物线上一点，到通过抛物线的顶点，与对称轴垂直的直线的距离；
上面的方程，可以等效成为下面的几何关系：
“抛物线上一点，到通过抛物线的顶点，与对称轴垂直的直线的距离”=a×（抛物线上一点，到对称轴的距离）²
对称点中点在对称轴上：该点的坐标是（31/2,31/2）；
对称点的斜率是1，对称轴的斜率是-1，方程是y=-1（x-31/2）+31/2
y=-x+31，x+y-31=0
顶点y=10，x=21，过顶点垂直于对称轴的直线的方程
y=（x-21）+10=x-11
-x+y+11=0
这里，让y的系数是正数，是故意的，这样，点到直线的距离公式不要绝对值，大于零，点位于直线上方，小于零，位于直线下方。
设P（x，y）是抛物线上任意点：
则该点到对称轴的距离=（x+y-31）/√2
该点到过顶点垂直于对称轴的直线的距离=（-x+y+11）/√2
（-x+y+11）/√2=a[（x+y-31）/√2]²=a（x+y-31）²/2
x=1，y=1代入
11/√2=a（29）²/2
11√2=841a，a=11√2/841
方程：

（-x+y+11）/√2=11√2/841.（x+y-31）²/2
-x+y+11=（11/841）（x+y-31）²
y-x=（11/841）（x+y-31）²-11=11{[（x+y-31）/29]²-1}
x=30,y=30,代入左=0，右边=0，正确；
x=21，y=10，代入：左边，y-x=-11，右边=-11，正确。

-841x+841y+9251=11（x+y-31）²
-841x+841y+9251=11x²+11y²+10571+22xy-682x-682y
11x²+11y²+22xy+159x-1523y+1320=0

Answer 4

好复杂😂