Question

二重积分的极坐标表达式求解

如图所示，这个图中箭头所指的rdr是什么意思？第一个积分表示的是怎样的一个面积？rdr中式子第一个r是不是多出来的？

Answer 1

两个圆方程的极坐标为：

r1=1

r2=2cosθ

则，两个圆的交点为

r1=r2.

可知 cosθ=1/2.  θ=±π/3

注意到图形是关于极轴对称的，所以，-π/3的部分等于π/3的部分

同时，阴影部分其实是两个区域组成，也就是那条直线的左边(I区域）和右边（II区域），右边就是单位圆部分。

所以可以直接用:答案前一部分表示。

左边为圆r2的部分，则使用后一部分表示。积分区域

r: 0→2cosθ

θ： π/3→π/2

区域间上面标识I,II区域

Answer 2

直角坐标和极坐标转换公式就是这样的。dxdy=rdrdθ，看看教材，教材里有推导。

追问

rdr是什么意思

追答

r是新的被积函数的一个因子，即被积函数由f(x,y)变成 rf(rcosθ,rsinθ)

Answer 3

Answer 4

这牵扯到对极坐标的理解：首先你要理解积分其实是“微元法”（就是把图形切的足够小，假设每一个的面积都相同，然后将他们的面积累加起来的过程叫积分）
假设你画一条极轴，在极轴上方画一个圆，现在你对这个圆进行二重积分：
第一步：由极点引射线（逆时针）第一次与圆相切时，与极轴的夹角为a,然后接着引射线切圆，最后离开圆时记与极轴的夹角为b，这就是为什么一重积分限为a~b（从夹角a积分到夹角b）
第二步：同样由极点向外围画弧线，用无数条弧线去切圆（形象说：就是），这样你第一步的切线一定和第二步的弧线一定可以近似交一个小矩形出来，这个小矩形的面积为rdrdθ（其中rdθ为矩形长，dr为矩形宽）
图参照上面答案去看，我地铁里没法给你画

Answer 5

追问

不够清晰啊