具体回答如下：
设 (x+1)/x=u²，则 x=1/(u²-1)
∫ln{1+√[(x+1)/x]} dx
=∫ln(1+u)d[1/(u²-1)]
=[ln(1+u)]/(u²-1)-∫[1/(u²-1)]*[1/(1+u)]du
=[ln(1+u)]/(u²-1)-(1/4)∫{[1/(u-1)]+[1/(1+u)]+[2/(1+u)²]}du
=[ln(1+u)]/(u²-1)-(1/4){ln(u-1)+ln(1+u)-[2/(1+u)]}
=[ln(1+u)]/(u²-1)-(1/4){ln(u²-1)-[2/(1+u)]}
=x*ln{1+√[(x+1)/x]} + (1/4)lnx + 2/{1+√[(x+1)/x]}
不定积分的意义：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
不定积分ln(1+根号下((1+x)/x))dx，解题过程如下：
设 (x+1)/x=u²，则 x=1/(u²-1)
∫ln{1+√[(x+1)/x]} dx
=∫ln(1+u)d[1/(u²-1)]
=[ln(1+u)]/(u²-1)-∫[1/(u²-1)]*[1/(1+u)]du
=[ln(1+u)]/(u²-1)-(1/4)∫{[1/(u-1)]+[1/(1+u)]+[2/(1+u)²]}du
=[ln(1+u)]/(u²-1)-(1/4){ln(u-1)+ln(1+u)-[2/(1+u)]}
=[ln(1+u)]/(u²-1)-(1/4){ln(u²-1)-[2/(1+u)]}
=x*ln{1+√[(x+1)/x]} + (1/4)lnx + 2/{1+√[(x+1)/x]}
不可积函数：
虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。
利用微分代数中的微分Galois理论可以证明。
具体回答如下：
设 (x+1)/x=u²，则 x=1/(u²-1)
∫ln{1+√[(x+1)/x]} dx
=∫ln(1+u)d[1/(u²-1)]
=[ln(1+u)]/(u²-1)-∫[1/(u²-1)]*[1/(1+u)]
=[ln(1+u)]/(u²-1)-(1/4)∫{[1/(u-1)]+[1/(1+u)]+[2/(1+u)²]}
=[ln(1+u)]/(u²-1)-(1/4){ln(u-1)+ln(1+u)-[2/(1+u)]}
=x*ln{1+√[(x+1)/x]} + (1/4)lnx + 2/{1+√[(x+1)/x]}
不定积分的意义：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
简单分析一下，答案如图所示
