Question

若A,B,C为ABC的三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值 说下怎么想的

Answer 1

设A<=B<=C,
做出y=Sinx在[0,pi]之间图象构造三角形EFG，
E(A,SinA)
F(B,SinB)
G(C,SinC)
则三角形重心G坐标为((A+B+C)/3,(SinA+SinB+SinC)/3),
由于G在图象下方有
(SinA+SinB+SinC)/3
<=Sin((A+B+C)/3),
SinA+SinB+SinC<=3根3/2

Answer 2

相等的时候
就是都是60度
原理我想是
角A的变化设为a
对应其正弦sinA变化设为a'
首先
角不可能大于90
因为
sin
100
==sin
80
有20度被浪费了(为什么出现浪费这个词
是因为
内角和为180
尽可能让每一个单位都为在正弦中做出最大话贡献)
然后也不可能小于0
所以 范围在0到90之间

第二部
:
假设一个角为90
另外2个为45
那么 可以得出一个
X
=sinA+sinB+sinC
我们要做的是通过变动找到最大的X
换句话说当X对应的A
B
C无论怎么变化时都会使X变小
那么
就找到了最大的X

这里就用到微分了
A=90
B=45
C=45
把A的很小的一部分d分给B
则
A=
90-d
B=45+b
C=45 不变
A变小了
d*(sin
A)' =d*cos
A
B
变大了d(*sin
B)'=d
*cosB
(注意这里是有'
表示的是导数
别漏看了)
一直这么做就可以得到经验只要2个角
sinA
+sinB
小于
sin((A+B)/2)+
sin
((A+B)/2)
所以就会一点点的变到60度
你只要在正当为正三角形时不论怎么变
X都会变小
你就能得到结论了