Question

一道初中数学压轴题，急求各位高人求解！（问题在下方）

Answer 1

连接OC
过点F，作FH⊥AB，交AB的延长线于点H
∵△ABC和△OEF为等腰Rt△
∴∠A=∠CAB=45°，AC=CB=12
∠OEF=∠OFE=45°，OE=OF
∠ACB=∠EOF=90°
∴∠ECM=180°－90°=90°
由勾股定理：AB=12√2
在Rt△ABC中，
∵sin45°=BC：AB
∴BC=AB·sin45°=(√2/2)AB
∵BE－BF=(√2/2)AB
∴BC=BE－BF
又∵BC=BE－EC
∴BF=EC
在Rt△ABC中，
∵CO是斜边AB的中线
∴OC=OA=OB=1/2AB=6√2
CO平分∠ACB，CO⊥AB
(三线合一)
∴∠COB=90°
∵∠EOC+∠COF=90°
∠COF+∠FOB=90°
∴∠EOC=∠FOB
在△EOC和△EOB中
∵EC=FB,∠EOC=∠FOB,OC=OB
∴△EOC≌△EOB(SAS)
∴∠MEC=∠NFB
∵CO平分∠ACB
∴∠MCO＝1/2∠ACB=45°
∵∠MOC+∠CON=90°
∠CON+∠NOB=90°
∴∠MOC=∠NOB
在△MOC和△NOB中
∵∠MOC=∠NOB，OC=OB，∠MCO=∠NBO=45°
∴△MOC≌△NOB(ASA)
∴MC=NB，∠CMO=∠BNO
∴AC－MC=BC－NB
即：AM=NC
∵∠CMO+∠CME=180°
∠BNO+∠BNF=180°
∴∠CME=∠BNF
在△EMC和△FNB中
∵∠CME=∠BNF，∠MEC=∠NFB，EC=FB
∴△EMC≌△FNB(AAS)
∴EM=FN，∠FBN=∠ECM=90°
∴∠FBH=180°－90°－45°=45°
在△EMF和△FNE中
∵EM=FN，∠OEF=∠OFE=45°，EF=FE
∴△EMF≌△FNE(SAS)
∴MF=FN，∠EFM=∠FEN
∵∠EFM=∠FEN
∴KE=KF(等角对等边)
∴FN－KE=MF－KF
即：NK=MK=5
设MC=NB=x
则AM=NC=12－x
∴CK=CN－KN=12－x－5=7－x
在Rt△CMK中
∵CM²+CK²=MK²
∴x²+(7－x)²=5²
化简得：x²－7x+12=0
解得：x1=3，x2=4
∵CM＜CK
∴CM=NB=3，CK=4，AM=BK=8
∵∠MCK=∠FBK=90°，∠CKM=∠BKF
∴△CKM∽△BKF
∴CK：BK=CM：BF
即：4：8=3：BF
∴BF=6
在Rt△BFH中
∵sin45°=FH：FB
∴FH=FB·sin45°=6×(√2/2)=3√2
∴BH=FH=3√2
∴OH=OB+BH=6√2+3√2=9√2
在Rt△OFH中
∵OH²+HF²=OF²
∴OF²=(9√2)²+(3√2)²
∴OF=6√5
在Rt△OEF中
∵sin45°=OF：EF
∴EF=OF/sin45°=6√5/(√2/2)=6√10

Answer 2

连接OC
过点F，作FH⊥AB，交AB的延长线于点H
∵△ABC和△OEF为等腰Rt△
∴∠A=∠CAB=45°，AC=CB=12
∠OEF=∠OFE=45°，OE=OF
∠ACB=∠EOF=90°
∴∠ECM=180°－90°=90°
由勾股定理：AB=12√2
在Rt△ABC中，
∵sin45°=BC：AB
∴BC=AB·sin45°=(√2/2)AB
∵BE－BF=(√2/2)AB
∴BC=BE－BF
又∵BC=BE－EC
∴BF=EC
在Rt△ABC中，
∵CO是斜边AB的中线
∴OC=OA=OB=1/2AB=6√2
CO平分∠ACB，CO⊥AB
(三线合一)
∴∠COB=90°
∵∠EOC+∠COF=90°
∠COF+∠FOB=90°
∴∠EOC=∠FOB
在△EOC和△EOB中
∵EC=FB,∠EOC=∠FOB,OC=OB
∴△EOC≌△EOB(SAS)
∴∠MEC=∠NFB
∵CO平分∠ACB
∴∠MCO＝1/2∠ACB=45°
∵∠MOC+∠CON=90°
∠CON+∠NOB=90°
∴∠MOC=∠NOB
在△MOC和△NOB中
∵∠MOC=∠NOB，OC=OB，∠MCO=∠NBO=45°
∴△MOC≌△NOB(ASA)
∴MC=NB，∠CMO=∠BNO
∴AC－MC=BC－NB
即：AM=NC
∵∠CMO+∠CME=180°
∠BNO+∠BNF=180°
∴∠CME=∠BNF
在△EMC和△FNB中
∵∠CME=∠BNF，∠MEC=∠NFB，EC=FB
∴△EMC≌△FNB(AAS)
∴EM=FN，∠FBN=∠ECM=90°
∴∠FBH=180°－90°－45°=45°
在△EMF和△FNE中
∵EM=FN，∠OEF=∠OFE=45°，EF=FE
∴△EMF≌△FNE(SAS)
∴MF=FN，∠EFM=∠FEN
∵∠EFM=∠FEN
∴KE=KF(等角对等边)
∴FN－KE=MF－KF
即：NK=MK=5
设MC=NB=x
则AM=NC=12－x
∴CK=CN－KN=12－x－5=7－x
在Rt△CMK中
∵CM²+CK²=MK²
∴x²+(7－x)²=5²
化简得：x²－7x+12=0
解得：x1=3，x2=4
∵CM＜CK
∴CM=NB=3，CK=4，AM=BK=8
∵∠MCK=∠FBK=90°，∠CKM=∠BKF
∴△CKM∽△BKF
∴CK：BK=CM：BF
即：4：8=3：BF
∴BF=6
在Rt△BFH中
∵sin45°=FH：FB
∴FH=FB·sin45°=6×(√2/2)=3√2
∴BH=FH=3√2
∴OH=OB+BH=6√2+3√2=9√2
在Rt△OFH中
∵OH²+HF²=OF²
∴OF²=(9√2)²+(3√2)²
∴OF=6√5
在Rt△OEF中
∵sin45°=OF：EF
∴EF=OF/sin45°=6√5/(√2/2)=6√10