Question

设F1F2分别为椭圆C的左右焦点,过F2的直线l与椭圆C相较于AB

F1，F2分别为椭圆C:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,过F2的直线L与椭圆C相交于A，B两点，直线L的倾斜角为60°，F1到直线L的距离为2√3。 1)求椭圆C的焦距 2)如果向量AF2=2向量F2B，求椭圆C的方程

Answer 1

解答:
(1)
解直角三角形
2c=|F1F2|
则
2c*sin60°=2√3
∴
2c=2√3/(√3/2)=4
(2)
设|F2B|=m,则|AF2|=2m
利用余弦定理
∴
|AF1|²=4m²+16-2*2m*4*cos60°
∴
|AF1|²=4m²+16-8m
∴
|AF1|=2√(m²-2m+4)
∴
|BF1|²=4m²+16-2*2m*4*cos120°
∴
|BF1|²=4m²+16+8m
∴
|BF1|=2√(m²+2m+4)
∴
2a=|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|
∴
2a=2√(m²-2m+4)+2m=2√(m²+2m+4)+m
解得
m=5/4，2a=6
∴
a=3
∴
b²=a²-c²=5
∴
椭圆方程是x²/9+y²/5=1