Question

矩阵的初等变换改变了什么？而什么又没有改变?

Answer 1

矩阵的初等变换是指以下三种变换类型：交换矩阵的两行、以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素、或者把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素。那么矩阵初等变换之后，矩阵的秩是不会改变的。

矩阵变换后的行向量(列向量)是原始行向量(列向量)线性组合的结果。如果矩阵秩为N，秩不改变，因为它有N个线性无关向量，矩阵变换后也有N个线性无关向量，所以秩也是N。

这是一个定理，在证明的时候把三个初等变换一一说明。设a1，a2，an是矩阵A的列向量，交换1和2列得到a2，a1，an和这两个向量组是等价的，所以秩是相同的。类似地，当第一列中的K乘以2列时，向量组A1，A2KA1，得到了An，因为A2=(。

矩阵变换应用

1、分块矩阵

矩阵的分块是处理阶数较高矩阵时常用的方法,用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵，在运算中,我们有时把这些子块当作数一样来处理,从而简化了表示，便于计算。 

分块矩阵有相应的加法、乘法、数乘、转置等运算的定义，也可进行初等变换。 分块矩阵的初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵的行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程组中有着广泛的应用。

2、求演化矩阵

已知矩阵A 相似于矩阵B，借助初等变换的方法，可以构造性的获得演化矩阵P。即找到具体的可逆矩阵P，使B = P^(-1)AP，由B =P^(-1)AP，可得AP =PB，将P 的元素设为未知量，由矩阵的乘法及两矩阵相等可得一齐次线性方程组，由方程组的一个非零解即可得到一个要求的演化矩阵P。