Question

抛物线切线方程公式推导

Answer 1

抛物线切线方程公式推导：
设过抛物线y^2=2px上一点M(x0.,y0)的切线的斜率为k，则由点斜式得切线方程为：y-y0=k(x-x0)；
将其与抛物线方程联立，可得k^2*x^2-2(k^2*x0-ky0+p)x+(y0^2+k^2*x0^2-2k*x0*y0)=0。
因为过点M的切线有且只有一个斜率，所以上式Δ=0，即[-2(k^2*x0-ky0+p)]^2-4k^2*(y0^2+k^2*x0^2-2k*x0*y0)=0；
整理得k=[2y0±(4y0^2-8p*x0)^(1/2)]/(2*2x0)。
因为M(x0.,y0)在抛物线y^2=2px上，所以y0^2=2px0，代入上式，化简得k=y0/(2x0)；
代入点斜式，得y0^2/p*y=y0*(x+x0)，即y0*y=p(x+x0)。
因此，可得过抛物线y^2=2px上一点M(x0.,y0)的切线方程为：y0*y=p(x+x0)。
同理，可得过抛物线y^2=-2px上一点M(x0.,y0)的切线方程为：y0*y=-p(x+x0)；
过抛物线x^2=2py上一点M(x0.,y0)的切线方程为：x0*x=p(y+y0)；
过抛物线x^2=-2py上一点M(x0.,y0)的切线方程为：x0*x=-p(y+y0)。