Question

关于线性代数的问题，急·····

1）设A为n阶矩阵,若存在正整数k使得A^k＝O,则称A为幂零矩阵，证明：幂零矩阵的特征值只能是0；
2）设a是n阶对称矩阵A的对应于特征值r的特征向量，求矩阵（P＾－1AP）’对应于特征值r的特征向量
3）若P＾－1AP＝B，P＾－1A’P＝B’，则A＋A’～B＋B’，AA’～BB’

Answer 1

第一题.若a为特征值,b为特征向量.可由
A^k＝O 推出 A^k*b＝O, 所以 a^k*b＝O. 因为b是非零向量,所以a^k=0
第二题 已知 Aa=ra.所以p^-1APa=rP^-1aP 所以 (p^-1APa)'=(rP^-1aP)'
所以 a'（P＾－1AP）’=r^n-1(P^-1aP)'=r^n-1P'a'P'^-1
所以P^-1'a'（P＾－1AP）’=r^n-1 p^-1a' 所以特征向量为 (ap^-1)'
第三题 两已知等式 左右相加 即可得P^-1(A+A')P=P^-1(B+B')P,即为A＋A’～B＋B’
又因为相似矩阵有相同的迹,所以由A~B,A'~B'可得AA'~BB'

Answer 2

你这问题有些符号看不懂！