Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,四边行ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点.求证:PD平行面AEC;

Answer 1

1)连接BD交AC于O,连接OE,则显然OE在平面AEC上,因为ABCD是菱形,所以O为BD的中点,又因为E为PB的中点,所以OE为三角形PBD的中位线,所以OE∥PD,由与平面内一条直线平行的平面外直线与该平面平行,可知PD平行于平面AEC.
(2)连接PO,因为ABCD是菱形,所以BD垂直于AC,因为PA=PC,所以三角形PAC是等腰三角形,O点平分AC,则PO是PAC底边上的中线,由等腰三角形三线合一可知PO垂直于AC,又因为PO和BD是平面PDB内的两条相交直线,所以AC垂直于平面PDB,因此平面AEC⊥平面PDB.