Question

设z是虚数，w=z+1/z是实数，

设z是虚数，w=z+1/z是实数，
且-1<w<21求|z|的值及z的实部的取值范围2设u=（1-z）/（1+z），求证u为纯虚数 3求w-u^2的最小值
求详解!

Answer 1

设z=a+bi
w=a+bi+(a-bi)/(a^2+b^2)
由于w是实数，
所以b-b/(a^2+b^2)=0
所以b=0(舍去)或a^2+b^2=1
代入得w=2a
由-1<w<2得-1/2<a<1
另外，-1<a<1(由a^2+b^2=1可以得出)
于是|z|的值为1，z的实部的取值范围：-1/2<a<1
设z=cosk+isink
u=（1-z）/（1+z）=(1-cosk-isink)/(1+cosk+isink)
=(-2isink)/(2+2cosk)
所以u为纯虚数
w-u^2=2cosk+(sink)^2/(1+cosk)
=-(cosk)^2+2cosk+1=-(cosk-1)^2+2
由-1/2<cosk<21/2
w-u^2的最小值好像取不到，如果是-1/2=<cosk<=21/2那就是-1/4
（a=cosk=-1/2时）