Question

高分！高中数学解答题，要详细过程！

设函数f(x)对任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0.(1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)在实数R上为减函数

Answer 1

令x=y=0
f（0）=0
令y=-x
f（x-x）=f（x）+f（-x）
f（x）=-f（-x）
为奇函数
设x2>x1＞0
根据当x>0时,f(x)<0，有f(x2-x1)<0，
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)，
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
为减函数

Answer 2

1、f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 则f是奇函数
2、令x1>x2>0,x1-x2>0,则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0 为减函数，同理，x<0是也为减函数

Answer 3

1令X=Y=0得f(0)=0，再令X=-Y，代入得f(0)=f(x)+f(-x)=0 移项得-f(x)=f(-X)为奇。
2令Y>0则有X+Y>X,移项得f(x+y)-f(x)=f(y), 因为Y>0所以f(y)<0 故f(x+y)-f(x)<0
定理得f(x)为减函数。