Question

设抛物线c1:x2-2x+2与抛物线c2:y2=-x2+ax+b在它们的一个公共点处的切线相互垂直

设抛物线c1:x2-2x+2与抛物线c2:y2=-x2+ax+b在它们的一个公共点处的切线相互垂直。(1)求a，b之间的关系；(2)若a＞0，b＞0，求ab的最大值

Answer 1

设公共点坐标为(x0,y0)
C1:y=x2-2x+2,y'=2x-2,该点斜率k1=2x0-2
C2:y=-x2+ax+b,y'=-2x+a,该点斜率k2=-2x0+a
k1k2=-1
(2x0-2)(-2x0+a)=-1
又x0^2-2x0+2=-x0^2+ax0+b
上两式消去x0
a+b=3/2
(2)
a＞0，b＞0,a+b=3/2
a+b≥2√ab
√ab≤3/4
ab≤9/16
ab的最大值9/16

Answer 2

题目输入有误！这样修改是否正确：“设抛物线c1:y=x^2-2x+2与抛物线c2:y=-x^2+ax+b在它们的一个公共点处的切线相互垂直。(1)求a，b之间的关系；(2)若a＞0，b＞0，求ab的最大值”。
解：
1.在C1中 y'=2x-2
在C2中y'=-2x+a
由于在交点处切线相互垂直，
则有（2x-2）（-2x+a）= - 1 ………(1)
且x^2-2x+2=-x^2+ax+b………………（2）
（1）+2（2）得
2a+2b=5………………………………（3）
在（1）中，△1=4[(a-2)^2+4]>0
在（2）中，△2=(a+2)^2-8(2-b)
将（3）代入△2中，得
△2=（a-2）^2+4>0
因此，在（3）成立时，关于x的方程（1）、（2）必有两个解
所以，a、b关系为2a+2b=5
2.由均值定理可知
ab≤[(a+b)/2]^2
即ab≤25/16
即ab的最大值为25/16.

Answer 3

这个答案错了 2楼的是对的
∵y=x2-2x+2∴y'=2x-2
∵y=-x2+ax+b的导函数为y'=-2x+a
设交点为（x0，y0），则 （2x0-2）（-2x0+a）=-1，2x02-（2+a）x0+2-b=0
4x02-（2a+4）x0+2a-1=0，4x02-（4+2a）x0+4-2b=0
故2a-1-4+2b=0，a+b= 5/2