Question

一个关于向量的问题。请大家帮一下忙。

Answer 1

(1)先求DM是DA的几分之几：

延长AD到P，使得AD=PD，四边形OABP是平行四边形。

将AB四等份，BC=CE=EF=FA，连OE，OF，

交AD于M，N，H，

同样将PO四等份，和B相连后得到几个平行线，

可得AH：HN：NM：MD=42：28：20：15，

DM：DB=15：105=1：7.

（2）∵OB=a（都是向量，下同），

∴OD=a/2,由AB=b，OA+AB=OB，

∴OA=a-b

OA+AD=OD,

a-b+AD=a/2,

AD=b-a/2.

MD=（b-a/2)/7=b/7-a/14，

DB=a/2,

∴MD+DB+BM=0，

b/7-a/14+a/2+BM=0，

b/7+3a/7+BM=0，

∴BM=-（b+3a）/7.

Answer 2

利用向量加法的三角形法则。

向量CM=CA+AM=CA+tAD=-3b/4+t(AB+BD)
=-3b/4+t(b-a/2)=-ta/2+(t-3/4)b.（t是唯一确定的实数）

向量OM=OA+AM=OA+t AD=(OB+BA) +t(AB+BD)
=a-b+t(b-a/2)=(1-t/2)a+(t-1)b. （t是唯一确定的实数）
向量CM与向量OM共线，所以它们的系数比相等。
即有(-t/2)/ (1-t/2)= (t-3/4)/ (t-1),
解得t=6/7.

向量CM=-ta/2+(t-3/4)b=-3a/7+3b/28.
∴向量BM=BC+CM=-b/4+(-3a/7+3b/28)= -3a/7-b/7.