Question

在正方形ABCD-A1B1C1D1中P是DD1的中点,O为ABCD的中心,求证:B1O⊥平面PAC

Answer 1

设正方体棱长为1，连结PB1，PO，

∵AC和BD是正方形ABCD对角线，

∴AC⊥BD，

∵OB是OB1在平面ABCD射影，

根据三垂线定理，

∴OB1⊥AC，

根据勾股定理，

OB1^2=OB^2+BB1^2,OB1=√（1/2+1）=√6/2，

同理，OP=√(OD^2+DP^2)=√3/2，

PB1^2=PD1^2+B1D1^2,

PB1=3/2,

∵OP^2+OB1^2=9/4,

PB1^2=9/4,

根据勾股逆定理可知，

∴三角形POB1是直角三角形，

∴〈POB1=90度，

即B1O⊥PO，

∵PO∩AC=O，

∴B1O⊥平面PAC。