Question

数学双曲线问题

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点F1（-3，0），一条渐近线的方程是（√5)x-2y=0.
1.求双曲线C的方程
2.若以k(k≠0）为斜率的直线L与双曲线C相交与两个不同的点M，N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81/2，求k的取值范围。

Answer 1

1，因为中心在原点的双曲线C的一个焦点F1（-3，0），
所以可设双曲线C的方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，
且a^2+b^2=9，
又一条渐近线的方程是（√5)x-2y=0，即y=√5/2 *x，
所以 b/a=√5/2， b^2 / a^2=5/4 ，
所以 a^2=5， b^2=4。
故双曲线C的方程为：x^2/5-y^2/4=1。
2，设直线L的方程为：y=kx+b，
直线L与双曲线C相交与两个不同的点M，N的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）。
将y=kx+b代入x^2/5-y^2/4=1，化简得：
(5k^2-4)*x^2+(10kb)*x+(5b^2+20)=0，
所以（x1+x2）=-10kb/(5k^2-4)，
（y1+y2）=k（x1+x2）+2b=-8b/(5k^2-4)，
所以线段MN 的中点坐标为 [ -5kb/(5k^2-4)，-4b/(5k^2-4）
所以线段MN的垂直平分线的方程为： y=-1/k*[x+5kb/(5k^2-4)]+4b/(5k^2-4)。
这条直线在两坐标轴上的截距的积为 |k|*b^2/(5k^2-4)^2。
这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为81/2，
所以 |k|*b^2/(5k^2-4)^2=81。

下面你自己去求。

Answer 2

因为中心在原点的双曲线C的一个焦点F1（-3，0），
所以可设双曲线C的方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，
且a^2+b^2=9，
又一条渐近线的方程是（√5)x-2y=0，即y=√5/2 *x，
所以 b/a=√5/2， b^2 / a^2=5/4 ，
所以 a^2=5， b^2=4。
故双曲线C的方程为：x^2/5-y^2/4=1。
2，设直线L的方程为：y=kx+b，
直线L与双曲线C相交与两个不同的点M，N的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）。
将y=kx+b代入x^2/5-y^2/4=1，化简得：
(5k^2-4)*x^2+(10kb)*x+(5b^2+20)=0，
所以（x1+x2）=-10kb/(5k^2-4)，
（y1+y2）=k（x1+x2）+2b=-8b/(5k^2-4)，
所以线段MN 的中点坐标为 [ -5kb/(5k^2-4)，-4b/(5k^2-4）
所以线段MN的垂直平分线的方程为： y=-1/k*[x+5kb/(5k^2-4)]+4b/(5k^2-4)。
这条直线在两坐标轴上的截距的积为 |k|*b^2/(5k^2-4)^2。
这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为81/2，
所以 |k|*b^2/(5k^2-4)^2=81。