Question

设函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[a,b]，则称函数f(x)是[a,b]的方正函数

（1）设g(x)=(1/2)x^2-x+3/2是[1，b]上的“方正”函数，求常数b的值；（2）问是否存在常数a,b(a＞-2),使函数h(x)=1/(x+2)是区间[a,b]上的“方正”函数？若存在，求出a,b的值：不存在说明理由

Answer 1

g(x)对称轴为1，所以在[1，b]上单调递增，所以只有一种情况
即当x=1时，g(x)=1 ，当x=b时，g(x)=b
b=(1/2)b^2-b+3/2 解得b=1或3 b=1舍去
所以b=3

h(x)=1/(x+2)的图像就是y=1/x向做平移2可得
题上说a＞-2 所以图像是单调递减的
区间是[a,b] 所以当x=a时。h(x)=b 当x=b时。h(x)=a
所以b=1/(a+2) a=1/(b+2)
将其中一个代入另一个方程去
解出b=正负1加根号2 负的舍去
b=根号2 -1 结果再代回去a=b，所以不存在

Answer 2

g(x)=(1/2)x^2-x+3/2
=0.5(x^2--2x+1)+1
=g(x)=(1/2)x^2-x+3/2在[1，b]单调递增
即x=1时，g(x)=1 ；x=b时，g(x)=b
0.5(b---1)^2+1 =b
b=3
h(x)=1/(x+2) 求导知道 x>--2时 h（x）单调递减
区间是[a,b] 所以当x=a时。h(x)=b 当x=b时。h(x)=a
所以b=1/(a+2) a=1/(b+2)
此时a，b无解
不存在常数a,b(a＞-2),使函数h(x)=1/(x+2)是区间[a,b]上的“方正”函数