Question

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=7PF2,求双曲线的离心率最大值

Answer 1

已知双曲线方程为：x²/a²-y²/b²=1

∴设P点坐标为：(asecθ，btanθ)

∵P点在右支上，所以：-π/2＜θ＜π/2

∵PF1-PF2=2a=7PF2-PF2=6PF2

∴a=3PF2

∵P：(asecθ，btanθ)，F2(c，0)

∴|PF2|²=(asecθ-c)²+(btanθ)²=9a²

经整理，得：

9c²sec²θ-18acsecθ+8a²=0

两边除以a²：

∴9e²sec²θ-18esecθ+8=0……①式

∵-π/2＜θ＜π/2

∴0＜cosθ≤1 ∴secθ≥1

因此要求方程①必须至少有一个解满足：secθ≥1

∴令f(secθ)=9e²sec²θ-18esecθ+8

那么对称轴secθ=1/e满足：0＜1/e＜1

因此只能保证有一个解满足：secθ≥1

∴要求f(secθ)的抛物线图象满足：

当secθ=1时：f(secθ)≤1

即：9e²sec²θ-18esecθ+8≤1

解得：2/3≤e≤4/3

∵e＞1

∴1＜e≤4/3

∴e的最大值是4/3

手工计算，应该没错~

Answer 2

解:因为P在双曲线的右支上,所以|PF1|>|PF2|
根据双曲线的定义:}PF1|-|PF2|=2a
|PF1|=7|PF2|
所以|PF1|=7a/3 |PF2|=a/3
当P点在X轴上时
|PF1|+|PF2|=8a/3=2c
所以离心率e=c/a=4/3
可能不一定对,你再考虑考虑,提供一个参考.

Answer 3

2