Question

循环小数0.999…是否等于1？

Answer 1

在数学的完备实数系中，循环小数0.999…表示一个等于1的实数，即0.999…所表示的数与1相同。目前该等式已经有各式各样的证明式；它们各有不同的严谨性、背景假设，且都蕴含实数的实质条件，即阿基米德公理、历史文脉、以及目标受众。

思路一：设 a=0.999...则 10a=9.999...于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9，因此 a=1。

思路二：由于 1/3=0.333...，所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...

“1=0.999...”的严格证明：

以上思路可以用来直观理解，但不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算。

所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。