Question

二(20分)设 x[0,2] 求函数 f(x)=4/(5-x^2)+4/(1+3x)+1/(3-x)取值范围.

Answer 1

问：二(20分)设 x[0,2] 求函数 f(x)=4/(5-x^2)+4/(1+3x)+1/(3-x)取值范围.

答：首先观察到函数的定义域为 x∈[-2,2]，因此只需研究函数的变化情况即可。对于函数 f(x)=4/(5-x^2)+4/(1+3x)+1/(3-x)，我们需要分析它在定义域内的一阶导数和二阶导数：f'(x) = 8x/(5-x^2)^2 - 12/(1+3x)^2 + 1/(3-x)^2f''(x) = 48x(x^2-3)/(5-x^2)^3 + 72/(1+3x)^3 + 2/(3-x)^3显然在定义域内 f''(x) > 0，因此 f'(x) 单调递增。又因为 f'(x) 在定义域两端为负数，因此函数 f(x) 在定义域内单调递减。于是我们只需求出函数在两端点处的取值即可：f(-2) = 31/7，f(2) = 3/5因此函数 f(x) 的取值范围为 [3/5, 31/7]。