Question

已知二次函数f(x)=(-1/2)x2+x，问是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为

[m,n]和[2m,2n]？如存在，求出m,n的值；如不存在，说明理由。

Answer 1

由-f(x)=(-1/2)x2+x的对称轴x=1，y最大为1/2所以2m≤1/2 m≤1/4 同n≤1/4 m＜n m＜1/4
当m＜n＜1 f（n）=-1/2*n^2+n=2n
f(m)=-1/2*m^2+m=2m
当m=-2 n等于 0成立 满足m＜1/4 n≤1/4
m＜1＜n或1＜m＜n 都与m＜1/4 n≤1/4
矛盾 不可取。所以m=-2 n=0成立。

Answer 2

解：二次函数f(x)=(-1/2)x2+x的对称轴x=1
(1)当m<n<1时，f(x)为单增
f(n)=-1/2*n^2+n=2n
f(m)=-1/2*m^2+m=2m
得n=0，-2,m=0,-2
当n=0,m=-2成立
(2)当1<m<n时，f(x)为单减
f(n)=-1/2*n^2+n=2m
f(m)=-1/2*m^2+m=2n
得m1=0,n1=2 不成立
m2=-2,n=4 不成立
(3)当m<1<n时，f(x)最小=f(1)=1/2
2m=1/2,m=1/4
n>1/4
f(n)=-1/2*n^2+n=2n
得n=-2,与n>1/4相矛盾，不成立

Answer 3

他就是看f(x)=(-1/2)x2+x与f(x)=2x相等时，是不是有两个不同的解
显然是存在的， x的取值范围：[-2 0]