Question

设A为奇数阶实对称矩阵，且det(A)>0.求证：存在非零向量X，满足X的转置乘以A再乘以X大于0

能否再详细点 ？ 谢谢！

Answer 1

det（A）>0
所以利用数学归纳法的逆归纳，因为假设f（x1，x2，x3.。。xn-1）=Xn-1的转置乘以An-1再乘以Xn-1的k-1阶顺序主子式成立，那么f（x1，x2，x3.。。xn-1，xn）=Xn的转置乘以An再乘以Xn的k阶顺序主子式也成立，可反推证，k=1,2,。。。n时△k>0恒成立（参考顺序主子式）
综上矩阵A正定，所以X的转置乘以A再乘以X大于0成立，参考实二次型的定性这一节
补充：首先你的结论就是要证明这个矩阵正定，又因为里面提到了det（A）>0，所以利用顺序主子式来做，只要证明△k>0在n=1,2,3.。。n都成立即可，现在det（A）>0，即k=n时△k>0成立，现在只要利用证明n-1时△k>0也大于零就可以用数学归纳法了，假设An正定，那么有·C使得|C1转置An-1C|=|C1|^2|A|=|An-1|.a,令a>0，所以An-1也正定，根据数学归纳法A正定，所以X的转置乘以A再乘以X大于0成立。