Question

高二几何数学题求解（向量方法）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且E在棱PB上（设空间向量）

（1）求证：平面AEC⊥平面PDB（法向量 方法）
(2) 当PD=√（根号）2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小（设向量）

Answer 1

四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且E在棱PB上（设空间向量）
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB（法向量 方法）
(2) 当PD=√（根号）2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小（设向量）
(1)解析：∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD
建立以D为原心，以DC方向为X轴，以DA方向为Y轴，以DP方向为Z轴正方向的空间直角坐标系D-xyz
设AB=1
则点坐标：
D(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(1,0,0)
P(0,0, z1)，E(x,y,z)
向量PD=(0,0,-z1)，向量PB=(1,1,-z1)
设向量m为面PDB的一个法向量：
向量m=向量PD×向量PB=(z1,-z1,0)
向量EA=(-x,1-y,-z)，向量EC=(1-x,-y,-z)
设向量n为面EAC的一个法向量：
向量n=向量EA×向量EC=(-z,-z,x-y-1)
向量m*向量n=-zz1+zz1+0=0
∴向量m⊥向量n，∴平面AEC⊥平面PDB
(2)解析：∵PD=√2，E为PB的中点
则点坐标：
D(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(1,0,0)
P(0,0, √2)，E(1/2,1/2, √2/2)
向量EA=(-1/2,1/2,-√2/2)==>|向量EA|=1
向量m=(√2,-√2,0)==>|向量m|=2
向量EA*向量m=-√2
Cos<向量EA,向量m>=(向量EA*向量m)/(|向量EA|*|向量m|)=-√2/2
∴AE与平面PDB所成的角为45°

Answer 2

对不起我还没有读高中

Answer 3

用向量的方法多此一举阿，连接AC 连接BD 那么由于底面是正方形所以BD垂直AC 又 PD垂直平面ABCD 所以垂直于平面内的任意一条直线所以PD 垂直AC 综上由于平面内的一条直线垂直于平面PBD 内的两条相交直线所以平面AEC垂直于平面PDB，你自己翻译成向量的形式吧
（2）连接BD 连接AC 设交点为O 则很容易证明AO垂直于BD，又PD垂直于平面ABCD 所以PD垂直于AO所以AO就是平面PDB的垂线，又E点是PB 的中点 所以连接EO 那么EO平行于PD ，所以EO 垂直于平面ABCD 所以三角形AEO 是直角三角形，剩下的就是求边长和解直角三角形的问题了
不知道你为什么要用向量的方法来做， 这道题用空间几何的方法很简单啊， 好好想想吧，祝你好运！

Answer 4

不向量
1）连接AC,BD交于O，则AC⊥BD（正方形ABCD)
∵PD⊥面ABCD，即PD⊥AC，有PD∩DB于D
∴AC⊥面PDB，即向量AC是面PDB法向量，即面ACE⊥面PDB

2）AO=(√2/2)AB,连接EO，则AE与平面PDB所成的角是AEO,EO=1/2PD==(√2/2)AB,
则△AOE为等腰Rt△，∴所成角为45°