Question

在三角形ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PE垂直于AB于点E,PE垂直于AC于点F,BD垂直于AC于点C,求证:PE+PF=BD

Answer 1

法一：

过P作PO⊥BD与O

易证四边形OBFP为矩形

则OB=PF

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C

∵PE⊥AB,PF⊥AC,

∴∠EPB+∠ABC=90°，∠FPC+∠C=90°

∴∠EPB=∠FPC

则Rt△BEPQ≌Rt△BOP

∴BE=BO

∴BD=BO+OD=PF+PE

法二：

延长PF到O使FO=PE

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C

∵PE⊥AB,PF⊥AC

∴△BEP∽△CFP

∴PE/PF=BP/CP

∴OF/PF=BP/CP

又PE⊥AB,PF⊥AC

∴PF∥BD

∴BP/CP=DF/CF

则△PFC∽△OFD

∴∠FPC=∠O

又∠EPB=∠FPC

∴∠O=∠FPC

则Rt△ODF≌Rt△PBE

∴OD=BP

又PF∥BD

则四边形BDOP为平行四边形

∴BD=PO

又PO=PF+OF=PF+PE

∴BD=PF+PE