Question

已知函数f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,+∞) 若对于任意x∈[1,+∞），f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围 。

答案已知，为什么不能用根的判别式来求？
x^2+2x+a>0即可，为什么不能判别式小于0，而是(x+1)^2+a-1>0

Answer 1

f(x)=x+a/x+2
(1)a>0 x+a/x>=2√a
f(x)>=2√a+2>0 恒成立
(2) a=0 f(x)=x+2>0 恒成立
(3) a<0
f(x)=x+a/x+2 在【1，+无穷）上是增函数
所以 x=1 最小值=3+a
3+a>0 -3<a<0
所以 实数a的取值范围（-3，+无穷）

追问

我是想说还有一种方法是
x^2+2x+a>0即可，为什么不能判别式小于0，而是(x+1)^2+a-1>0

追答

因为x的取值范围不是全体实数，而是【1，+无穷）所以不能用判别式