Question

（2010?福州模拟）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1

（2010?福州模拟）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若点P线段BN上，且三棱锥P-AMN的体积VP?AMN＝521，求NPPB的值．

Answer 1

解：（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A₁D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN

∥ .

.

1

2

AB（2分）
又∵A1M＝

1

2

A1B1，A1B1

∥ .

.

AB，
∴A1M

∥ .

.

DN，
∴四边形A₁DNM是平行四边形
∴A₁D∥MN（4分）
∵A₁D?平面ACC₁A₁，
MN?平面ACC₁A₁∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）

（II）∵VP?AMN＝VM?APN＝

5

21

又M到底面ABC的距离：AA₁=2
∴

1

3

×S△APN×AA1＝

5

21

（8分）
∵N为BC中点∴S△ABN＝

1

2

S△ABC＝

1

2

×AB×AC＝

1

2

（9分）
∵P点在线段BN上时，

PN

BN

＝

S△APN

S△ABN

＝

5

7

（11分）
此时

NP

PB

＝

5

2

．（12分）