Question

如图，抛物线y=ax 2 -5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥ x轴，点A在x轴的负半轴 上，点C在y轴上，且A

如图，抛物线y=ax 2 -5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥ x轴，点A在x轴的负半轴 上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=ax 2 -5ax+4， 对称轴：x=- -5a 2a = 5 2 ； （2）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥ x轴，点A在x轴上，点C在y上，且AC=BC， 令x=0，y=4，可知C点坐标（0，4）， BC ∥ x轴，所以B点纵坐标也为4， 又∵BC两点关于对称轴x= 5 2 对称， 即： xB+0 2 = 5 2 ， x B =5， ∴B点坐标（5，4）． A点在x轴上，设A点坐标（m，0）， AC=BC，即AC 2 =BC 2 ， AC 2 =4 2 +m 2 ， BC=5， ∴4 2 +m 2 =5 2 ， ∴m=±3， ∴A点坐标（-3，0）， 将A点坐标之一（-3，0）代入y=ax 2 -5ax+4， 0=9a+15a+4， a=- 1 6 ， y=- 1 6 x 2 + 5 6 x+4； 将A点坐标是（3，0），则与A在x轴的负半轴矛盾，故舍去． 故函数关系式为：y=- 1 6 x 2 + 5 6 x+4． （3）存 在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M． 过点B作BQ⊥x轴于Q， 易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM= 5 2 ． ①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P 1 AB． ∴AB 2 =AQ 2 +BQ 2 =8 2 +4 2 =80（8分） 在Rt△ANP 1 中，P 1 N= A P 1 2 - AN 2 = AB 2 - AN 2 = 80- (5.5) 2 = 199 2 ， ∴P 1 （ 5 2 ，- 199 2 ）．（9分） ②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P 2 AB． 在Rt△BMP 2 中MP 2 = B P 22 -B M 2 = A B 2 -B M 2 = 80- 25 4 = 295 2 ，（10分） ∴P 2 =（ 5 2 ， 8- 295 2 ）．（11分） ③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P 3 AB． 画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P 3 ，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C． 过点P 3 作P 3 K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P 3 CK ∽ Rt△BAQ． ∴ P 3 K CK = BQ AQ = 1 2 ． ∵P 3 K=2.5 ∴CK=5于是OK=1，（13分） ∴P 3 （2.5，-1）． ④以B为顶点时，交于x轴上方，求得P（ 5 2 ， 8+ 295 2 ）（舍去）．