已知：三角形ABC三边a、b、c满足a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，（1）求证：△ABC是等边三角形
已知：三角形ABC三边a、b、c满足a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若等边△ABC的面积为...
已知：三角形ABC三边a、b、c满足a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若等边△ABC的面积为4，其内心为O1，连接BO1，以BO1为边作等边△BO1B1，记等边△BO1B1的面积S1，取△BO1B1的内心O2，连BO2，以BO2为边作等边△BO2B2，记等边△BO2B2的面积为S2，依次作等边三角形…记△BO2010B2010的面积为S2010，求S1、S2及S2010的值．
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（1）证明：∵a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，
∴a2+b2+c2=b2+c2-bc+a2+c2-ac+a2+b2-ab，
∴0=a2+b2+c2-bc-ac-ab，
∴0=2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab，
∴0=（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b，a=c，b=c
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：延长BO1交AC于D
∵O1为△ABC的内心，
∴BD⊥AC，AD=DC，设AD=x，则AC=2X，在Rt△ABD中由勾股定理，得
BD=
x，
∴S△ABC=
=4
∴
x2=4
在Rt△ADO1中，由勾股定理，得
DO1=
x
∴BO1=
x
∴EO1=
x，BE=x
∴S1=
∴a2+b2+c2=b2+c2-bc+a2+c2-ac+a2+b2-ab，
∴0=a2+b2+c2-bc-ac-ab，
∴0=2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab，
∴0=（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b，a=c，b=c
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：延长BO1交AC于D
∵O1为△ABC的内心，∴BD⊥AC，AD=DC，设AD=x，则AC=2X，在Rt△ABD中由勾股定理，得
BD=
| 3 |
∴S△ABC=
2x?
| ||
| 2 |
∴
| 3 |
在Rt△ADO1中，由勾股定理，得
DO1=
| ||
| 3 |
∴BO1=
2
| ||
| 3 |
∴EO1=
| ||
| 3 |
∴S1=
|
