Question

如图，在△ABC中，O是AC上的一个动点（不与点A、C重合），过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E

如图，在△ABC中，O是AC上的一个动点（不与点A、C重合），过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。 （1）试说明：OE=OF。（2）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

Answer 1

略

（1）∵EF//BC，∴∠OEC=∠ECB, 且CE为∠ACB平分线，∠ECB=∠OCE ∴∠OCE=∠OEC 推出OE=OC 同理可得OC=OF（到这还有一种方法证明：内外角和是180°，平分后和是90°∴∠ECF是直角，且OE=OC，定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半，用它的逆定理可得OC是中线） ∴OE="OF" （2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。 分析过程：∵∠ECF=90°，∴只要证明四边形AECF是平行四边形就可以得出它是矩形的结论（定理：一个角是直角的平行四边形是矩形。） 证明过程：∵O是EF中点（上问已证），O是AC中点，∴四边形AECF是平行四边形（定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 又∵∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形。