Question

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．（1）求证： ；（2）

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．（1）求证： ；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

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Answer 1

（1）证明：四边形ABCD是矩形，      ∴ （矩形的对角线互相平分），           AE∥CF（矩形的对边平行）      ∴      ∴ （A．A．S）． （2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ （矩形的对角线互相平分）．    又由（1） 得，       ∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）    又 ，    ∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．