Question

（文科做）已知函数f（x）=lnx+a，g（x）=ax，a∈R．（1）若a=1，设函数F(x)＝f(x)g(x)，求F（x）的极大

（文科做）已知函数f（x）=lnx+a，g（x）=ax，a∈R．（1）若a=1，设函数F(x)＝f(x)g(x)，求F（x）的极大值；（2）设函数G（x）=f（x）-g（x），讨论G（x）的单调性．

Answer 1

（1）当a=1时，F(x)＝

lnx+1

x

，定义域为x∈（0，+∞），
则F′(x)＝

?lnx

x2

．…（2分）
令F'（x）=0得x=1，列表：…（4分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	极大值	↘

当x=1时，F（x）取得极大值F（1）=1．…（7分）
（2）G（x）=lnx+a-ax（x＞0），∴G′(x)＝

1

x

?a＝

1?ax

x

，x＞0．     …（9分）
若a≤0，G'（x）＞0，G（x）在（0，+∞）上递增；                …（11分）
若a＞0，当x∈(0，

1

a

)时，G'（x）＞0，G（x）单调递增；
当x∈(

1

a

，+∞)时，G'（x）＜0，G（x）单调递减．                 …（14分）
∴当a≤0时，G（x）的增区间为（0，+∞），
当a＞0时，G（x）的增区间为(0，

1

a

)，减区间为(

1

a

，+∞)．       …（16分）