Question

已知三次函数f（x）=a3x3+b2x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则a+b+cb?a的最小值为______

已知三次函数f（x）=a3x3+b2x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则a+b+cb?a的最小值为______．

Answer 1

由题意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b²-4ac≤0．
∴

a+b+c

b?a

＝

a2+ab+ac

ab?a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab?a2

＝

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a ?1

令t＝

b

a

(t＞1)，

a+b+c

b?a

≥

1+t+ 1 4 t2

t?1

＝

1

4

(t+2)2

t?1

＝

1

4

(t?1+3)2

t?1

＝

1

4

(t?1+

9

t?1

+6)≥3．（当且仅当t=4，即b=4a=4c时取“=”）
故答案为：3