Question

（1）已知f（x）=-2asin（2x+π6）+2a+b，x∈[π4，3π4]，是否存在常数a，b∈Q时，使得f（x）的值域为[-

（1）已知f（x）=-2asin（2x+π6）+2a+b，x∈[π4，3π4]，是否存在常数a，b∈Q时，使得f（x）的值域为[-3，3-1]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．（2）若关于x的方程-2sin2x+sin（π+x）+a2-2a+2=0在[-π6，π6]内有实数根，求实数a的范围．

Answer 1

解答：（1）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，则2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

3

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]---------（3分）
①当a＞0时，则

2a+2a+b＝ 3 ?1 ? 3 a+2a+b＝?3

，解得a=1，b=

3

?5，此时b?Q舍去；
②当a＜0时，则

2a+2a+b＝?3 ? 3 a+2a+b＝?1+ 3

，解得a=-1，b=1，符合题意
综上所述，存在a=-1，b=1，使f（x）的值域为[-3，

3

-1]．----------------（7分）
（2）方程方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0，
化简为：a²-2a=2（sinx+

1

4

）²-

17

8

，x∈[-

π

6

，

π

6

]
∵sinx在x∈[-

π

6

，

π

6

]的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]
∴2（sinx+

1

4

）²-

17

8

的最大值为-1，最小值为-

17

8

因此，若原方程在[-

π

6

，

π

6

]内有实数根，则a²-2a∈[-

17

8

，-1]
解不等式组-

17

8

≤a²-2a≤-1，得a=1，
即关于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-

π

6

，

π

6

]内有实数根时，实数a的范围是{1}．