Question

20、如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连结EF。 （1）、求

20、如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连结EF。
（1）、求证：①、AE=AG；②四边形AEFG为菱形。
（2）、若AD=8，BD=6，求AE的长。

Answer 1

证明AE=AG的关键是证明∠AGE=∠AEG；∵∠AEG=∠BED，又∠ADB=90°；∴∠AEG+∠GBD=90°；又因为∠AGE+∠ABG=90°且BG为角ABD的角平分线，因此可以推断∠AEG=∠AGE
，空伍所以得出△AEG为等腰三角形，所以AE=AG。 ∵线段GF平行于线段AD，所以∠AEG＝∠FGE；∴∠AGB=∠FGB，有孝迅前面的条件可知∠ABG=角FBG，又BG=BG，所以三角形ABG全等于三角形GFB，所以AG=AF，从而推出AE=GF，根据菱形的定义：四边形AEFG为平行四边形，又邻边相等，所以四边形为菱形。
第二问中只要利用个边的比例关系即可求解：在三角形FBG中BD：BF=DE：GF等价于BD：BF=（AD-AE）：AE；由题知AB=10，所以BF=10，根据这些条件解方程就可以算出线段AE的长度了！斗慎或