Question

已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数。

（1）求实数a的值；
（2）判断f(x)在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）当x∈（0，1]时，t·f(x)≥2^x-2恒成立，求实数t的取值范围

Answer 1

解：
(1)a=2
由于f是奇函数，于是f(-x)=-f(x),即有(2a^(-x)+a-4)/(2a^(-x)+a) =-(2a^x+a-4)/(2a^x+a) ,
化简 (4a-8)a^x + 2(a-2)^2 + (4a-8)a^(-x)=0.故a=2.
（2）f(x)=(2*2^x-2)/(2*2^x+2)=(2^x-1)/(2^x+1)=1 - 2/(2^x+1).
对于x1 < x2, f(x1)-f(x2)= 2*2^x2*[2^(x1-x2)-1]/(2^x1+1)(2^x2+1) < 0.于是f在定义域上单调增加。
(3)实数t的取值范围是[0, +无穷大)。
令y=2^x. 当x∈（0，1]时,y的取值范围是(1, 2]. 要求t·f(x)≥2^x-2对x∈（0，1]恒成立，即要求
t(y-1)/(y+1)>=y-2对y∈（1，2]恒成立. 即y^2-(t+1)y+t-2<=0. 分别取y=1，2得
t>=0