Question

设函数f(x)＝x³＋ax²－a²x＋1 g（x）＝ax²－2x+1 其中实数a≠0

1）当a＝3时 求函数f（x)的单调区间

Answer 1

设函数f(x)＝x³＋ax²－a²x＋1 g（x）＝ax²－2x+1 其中实数a≠0
1） 当a＝3时 求函数f（x)的单调区间

解：在求一函数单调区间的时候，最先考虑的是该函数的定义域，即x的取值范围。
故当a=3时，f(x)= x³＋3x²－3²x＋1 g（3）= 3x²－2x+1
则：x³＋3x²－3²x＋1 g（3）= 3x²－2x+1
即：x³－3²x＋1 g（3）=－2x+1 左右各有3x²，可以省略
x³－3²x+2x=1-1 g（3）在两边都有不定值x存在的时候，我们可以通过互换创造单个函数，再依据该函数来求解定义域。
现在x³－3²x+2x是一3次方函数，而x³是正方向函数，即升降升型的。
而对于1-1 g（3），可令其为Y，即Y=1-1 g（3），要求Y 范围，则依据1o g函数来解。故1 g（3）=1-Y。依据1o g函数性质，底数为十大于一，故为递增曲线，而3大于一，小于十，则0<1 g（3）>1，那么0<1-Y>1，然后-1<Y-1>0，各加一，即0<Y>1.,所以0<x³－3²x+2x>1故x³－3²x+2x得值域在（0,1）
在任何情况，当x=0,1时都要单独考虑，以防万一会遗忘。
在该函数中，x既满足3次方函数，又要满足1o g函数，故x.>0即x=0不存在。当x=1时，函数等式不成立，故不存在。
所以，该函数求解可转化为值域在（0,1），求函数f(x)=x³－3²x+2x的定义域，然后在定义域内求其单调区间。
f(x)=x³－3²x+2x= x³-7x,求解可得x的范围，即x的定义域，最后根据3次方函数图像的单调性求解即可。