Question

抽象代数的题 题目为英文

Answer 1

第（a）题

显然四元数群中，单位元是1

下面来求子群C的左右陪集：

显然有1C=C1=-1C=C(-1)=C

iC=Ci=-iC=C(-i)={i,-i}

jC=Cj=-jC=C(-j)={j,-j}

kC=Ck=-kC=C(-k)={k,-k}

因此左陪集与右陪集都相等，则子群C是正规子群。

（b）

商群Q/C={C,{i,-i},{j,-j},{k,-k}}

下面来写商群元素的乘法表：

乘法 C {i,-i} {j,-j} {k,-k}

C C {i,-i} {j,-j} {k,-k}

{i,-i} {i,-i} C {k,-k} {j,-j}

{j,-j} {j,-j} {k,-k} C {i,-i} 

{k,-k} {k,-k} {j,-j} {i,-i} C

(c)

显然H满足：

1、乘法封闭性

2、满足结合律

3、存在单位元1

4、元素都有逆元

因此子集H是群，从而H是G的子群

（d）

D4群中，只有2个元素a，a^3满足x^2不等于单位元e

而群Q中，有6个元素i,-i,j,-j,k,-k，满足x^2不等于单位元1

因此D4与Q是不同构的。

追问

谢谢 我看一下。 c和d呢？

追答

已经补充答案了