Question

4． 已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD上的点。

（1） 若∠MAN＝45°，求证：MB＋ND＝MN 。
（2） 若MB＋ND＝MN，求证：∠MAN＝45°。

Answer 1

1)过N做NP垂直于AM。

由题意，得：三角形ANP为等腰直角三角形（∠MAN＝45°）；

所以：MN^2=NP^2+PM^2;

设正方形ABCD边长为1，BM=b，DN=a。

MN^2=NP^2+PM^2------1；

MN^2=NC^2+MC^2------2;

1,2式联立：NP^2+PM^2=NC^2+MC^2；

故：(AN/√2)^2+(AM-AP)^2=(1-DN)^2+(1-BM)^2;

       (1+a^2)/2+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)+(1+a^2)/2=(1-a)^2+(1-b)^2;

       (1+a^2)+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=(1+a^2)+(1+b^2)-2(a+b);

       √2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=2(a+b);

       (1+a^2)*(1+b^2)=2(a+b)^2;

       1+a^2+b^2+a^2*b^2=2a^2+2b^2+4ab;

        1+a^2*b^2-2ab=a^2+b^2+2ab;

       (1-ab)^2=(a+b)^2;

因为a<1,b<1,故ab<1;

上式为:1-ab=a+b;

随便带入1,2式中的一个（以2式为例）：

MN^2=NC^2+MC^2=(1-a)^2+(1-b)^2

                             =1-2a+a^2+1-2b+b^2

                             =2-2(a+b)+a^2+b^2                             

                             =2-2+2ab+a^2+b^2-------->1-ab=a+b;

                             =(a+b)^2;

故：MN=a+b=MB＋ND,原题得证。

2）由MB＋ND＝MN，得:NC^2+MC^2=(MB＋ND)^2;

         所以:(1-a)^2+(1-b)^2=(a+b)^2;

                a+b=1-ab;

下面用1)的证明倒推。