Question

已知函数f(x)=3^x,f(m+2)=18,g(x)=λ3^mx-4^x的定义域为[0,1]求m的值

已知函数f(x)=3^x,f(m+2)=18,g(x)=λ3^mx-4^x的定义域为[0,1]
1）求m的值
2）若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围

Answer 1

3^(m+2)=18, m+2=log3 18=2+log3 2, m=log3 2 （写在后面的是真数）
g(x)=λ3^mx-4^x=λ[3^log3 2]^x-4^x=λ2^x-4^x=-(2^x)²+λ2^x
令t=2^x，t是增函数,
看t为自变量，则抛物线g(t)=-t²+λt, 对称轴t=λ/2, 过原点，
在[0,1]上是减函数,则只能是对称轴在y轴右边,且对称轴在[0,1]右边
所以λ/2>=1， λ>=2