Question

判断∫（0 1）dx/【x（lnx）^p】的敛散性

Answer 1

∫1/lnxdx属于非初等可积。即函数1/lnx的原函数不能用初等函数表示。所以不能用常规方法做。

这里介绍一种广义积分（反常积分）的审敛法，这种方法较少运用。

对于无界函数广义积分，∫(a~b)f(x)dx(x=a为奇点，即瑕点)，则作出(x-a)^p(0<p<1),求lim(x→a)(x-a)^pf(x)，若极限存在则收敛。

由此，此题中x=0为瑕点（奇点）

所以lim(x→0)(x^p)/lnx=0，(0<p<1)所以该广义积分收敛。

扩展资料：

判别法：

正项级数及其敛散性

如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数。

正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：

正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。

有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

比较：

比较审敛法：

一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。

反之，一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都大于或等于一个已知发散的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定发散。

如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：对于正项级数和 ，如果 ，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。